Одной из характеристик любой системы является ее кинетическая и потенциальная энергия. Если какая-либо сила F оказывает действие на находящееся в покое тело таким образом, что последнее приходит в движение, то имеет место совершение работы dA. В этом случае значение кинетической энергии dT становится тем выше, чем больше совершено работы. Другими словами, можно написать равенство:
Учитывая путь dR, пройденный телом, и развиваемую скорость dV, воспользуемся вторым для силы:
Важный момент: данный закон можно использовать в том случае, если взята инерциальная система отсчета. Выбор системы влияет на значение энергии. В международной энергия измеряется в джоулях (дж).
Отсюда следует, что частицы или тела, характеризующейся скоростью перемещения V и массой m, составит:
T = ((V * V)*m) / 2
Можно сделать вывод, что кинетическая энергия определяется скоростью и массой, фактически представляя собой функцию движения.
Кинетическая и потенциальная энергия позволяют описать состояние тела. Если первая, как уже было сказано, непосредственно связана с движением, то вторая применяется в отношении системы взаимодействующих тел. Кинетическая и обычно рассматриваются для примеров, когда сила, связывающая тела, не зависит от В таком случае важны лишь начальное и конечное положения. Самый известный пример - гравитационное взаимодействие. А вот если важна и траектория, то сила является диссипативной (трение).
Говоря простым языком, потенциальная энергия представляет собой возможность совершить работу. Соответственно, эта энергия может быть рассмотрена в виде работы, которую нужно совершить для перемещения тела из одной точки в другую. То есть:
Если потенциальную энергию обозначить как dP, то получаем:
Отрицательное значение указывает, что выполнение работы происходит благодаря уменьшению dP. Для известной функции dP возможно определить не только модуль силы F, но и вектор ее направления.
Изменение кинетической энергии всегда связано с потенциальной. Это легко понять, если вспомнить системы. Суммарное значение T+dP при перемещении тела всегда остается неизменным. Таким образом, изменение T всегда происходит параллельно с изменением dP, они словно перетекают друг в друга, преобразовываясь.
Так как кинетическая и потенциальная энергия взаимосвязаны, их сумма представляет собой полную энергию рассматриваемой системы. В отношении молекул она является и присутствует всегда, пока есть хотя бы тепловое движение и взаимодействие.
При выполнении расчетов выбирается система отсчета и любой произвольный момент, взятый за начальный. Точно определить значение потенциальной энергии можно лишь в зоне действия таких сил, которые при совершении работы не зависят от траектории перемещения какой-либо частицы или тела. В физике такие силы получили название консервативных. Они всегда взаимосвязаны с законом сохранения полной энергии.
Интересный момент: в ситуации, когда внешние воздействия минимальны или нивелируются, любая изучаемая система всегда стремится к такому своему состоянию, когда ее потенциальная энергия стремится к нулю. К примеру, подброшенный мяч достигает предела своей потенциальной энергии в верхней точке траектории, но в то же мгновение начинает движение вниз, преобразуя накопленную энергию в движение, в выполняемую работу. Стоит еще раз обратить внимание, что для потенциальной энергии всегда имеет место взаимодействие как минимум двух тел: так, в примере с мячом на него оказывает влияние гравитация планеты. Кинетическая же энергия может быть рассчитана индивидуально для каждого движущегося тела.
Работа совершается в природе всегда, когда какое-либо тело в направлении его движения или против него действует сила (или несколько сил) со стороны другого тела (других тел).
Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы и на косинус угла между ними.
А= F · S ·соs , где А Дж); F – сила, (Н); S- перемещение, (м).
Энергия не создается и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую: из кинетической в потенциальную и наоборот. Учитывая значение Ек и Еп, закон сохранения механической
энергии можно записать так:
В состоянии 2 тело обладает кинетической энергией (так как уже развило скорость), но при этом потенциальная энергия уменьшилась, так как h 2 меньше h 1 . Часть потенциальной энергии перешло в кинетическую.
Состояние 3 — это состояние перед самой остановкой. Тело как бы только-только дотронулось до земли, при этом скорость максимальная. Тело обладает максимальной кинетической энергией. Потенциальная энергия равна нулю (тело находится на Земле).
Полные механические энергии равны между собой, если пренебрегать силой сопротивления воздуха.
Для приведения любого тела в движение обязательным условием является произведение работы . При этом, для выполнения данной работы необходимо израсходовать некоторую энергию.
Энергия характеризует тело с точки зрения возможности производить работу. Единицей измерения энергии является Джоуль , сокращенно [Дж].
Полная энергия любой механической системы эквивалентна суммарному значению потенциальной и кинетической энергии. Поэтому, принято выделять потенциальную и кинетическую энергию в качестве разновидностей механической энергии.
Если речь ведется о биомеханических системах, то полная энергия таких систем состоит дополнительно из тепловой и энергии обменных процессов.
В изолированных системах тел, когда на них действуют лишь сила тяжести и упругости, величина полной энергии неизменна. Это утверждение является законом сохранения энергии.
Что же из себя представляет и тот, и другой вид механической энергии?
О потенциальной энергии
Потенциальная энергия это энергия, определяемая взаимным положением тел, либо составляющих этих тел, взаимодействующих друг с другом. Иными словами, эта энергия определяется величиной расстояния между телами .
К примеру, когда тело падает вниз и приводит в движение окружающие тела на пути падения, сила тяжести производит положительную работу. И, наоборот, в случае поднятия тела вверх, можно говорить о производстве отрицательной работы.
Следовательно, каждое тело при нахождении на определенном расстоянии от земной поверхности обладает потенциальной энергией. Чем больше высота и масса тела, тем больше значение работы, совершаемой телом. В то же время, в первом примере, при падении тела вниз, потенциальная энергия будет отрицательной, а при поднятии потенциальная энергия положительна.
Это объясняется равенством работы силы тяжести по значению, но противоположностью по знаку изменению потенциальной энергии.
Также примером возникновения энергии взаимодействия может служить предмет, подверженный упругой деформации — сжатая пружинка : при распрямлении ей будет производиться работа силы упругости. Здесь речь идет о совершении работы вследствие изменения расположения составляющих тела относительно друг друга при упругой деформации.
Подытожив информацию, отметим, что абсолютно каждый предмет, на который воздействует сила тяжести или сила упругости, будет обладать энергией разницы потенциалов.
О кинетической энергии
Кинетической является энергия, которой начинают обладать тела вследствие совершения процесса движения . Исходя из этого, кинетическая энергия тел, находящихся в покое, равняется нулю.
Величина данной энергии эквивалентна величине работы, которую нужно совершить для выведения тела из состояния покоя и заставить его, тем самым, двигаться. Иными словами, кинетическую энергию можно выразить как разницу между полной энергией и энергией покоя.
Работа поступательного движения, которую производит движущееся тело, напрямую зависит от массы и скорости в квадрате. Работа вращательного движения зависит от момента инерции и квадрата угловой скорости.
Полная энергия движущихся тел включает в себя оба вида производимой работы, ее определяют, согласно следующему выражению: . Основные характеристики кинетической энергии:
- Аддитивность – определяет кинетическую энергию как энергию системы, состоящую из совокупности материальных точек, и равную суммарной кинетической энергии каждой точки этой системы;
- Инвариантность относительно поворота системы отсчета — кинетическая энергия независима от положения и направления скорости точки;
- Сохранение – характеристика указывает, что кинетическая энергия систем неизменна при любых взаимодействиях, в случаях изменения только механической характеристики.
Примеры тел, обладающих потенциальной и кинетической энергией
Все предметы, поднятые и находящиеся на некотором расстоянии от земной поверхности в неподвижном состоянии, способны обладать потенциальной энергией. Как пример, это бетонная плита, поднятая краном , которая находится в неподвижном состоянии, взведенная пружина.
Кинетическую энергию имеют движущиеся транспортные средства, а также, в целом, любой катящийся предмет.
При этом, в природе, бытовых вопросах и в технике потенциальная энергия способна переходить в кинетическую, а кинетическая, в свою очередь, наоборот, в потенциальную энергию.
Мяч , который бросают с некоторой точки на высоте: в самом верхнем положении потенциальная энергия мячика максимальна, а значение кинетической энергии равно нулю, поскольку мяч не движется и пребывает в состоянии покоя. При снижении высоты потенциальная энергия соответственно постепенно уменьшается. Когда мячик достигнет земной поверхности, то он покатится; в данный момент кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная будет равна нулю.
Кинетическая энергия - энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Единица измерения в системе СИ - Джоуль. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия - часть полной энергии, обусловленная движением.
Рассмотрим случай, когда на тело массой m действует постоянная сила (она может быть равнодействующей нескольких сил) и векторы силы и перемещения направлены вдоль одной прямой в одну сторону. В этом случае работу силы можно определить как A = F∙s. Модуль силы по второму закону Ньютона равен F = m∙a, а модуль перемещения s при равноускоренном прямолинейном движении связан с модулями начальной υ 1 и конечной υ 2 скорости и ускорения а выражением
Отсюда для работы получаем
Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела .
Кинетическая энергия обозначается буквой E k .
Тогда равенство (1) можно записать в таком виде:
A = E k 2 – E k 1 . (3)
Теорема о кинетической энергии:
работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.
Так как изменение кинетической энергии равно работе силы (3), кинетическая энергия тела выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.
Если начальная скорость движения тела массой т равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ , то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:
(4)
Физический смысл кинетической энергии:
кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью υ, показывает, какую работу должна совершить сила, действующая на покоящееся тело, чтобы сообщить ему эту скорость.
Потенциальная энергия - минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести тело из некой точки отсчёта в данную точку в поле консервативных сил. Второе определение: потенциальная энергия - это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы. Третье определение: потенциальная энергия - это энергия взаимодействия. Единицы измерения [Дж]
Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой точки пространства, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной точки называется нормировкой потенциальной энергии. Понятно также, что корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.
Потенциальная энергия поднятого над Землей тела – это энергия взаимодействия тела и Земли гравитационными силами. Потенциальная энергия упруго деформированного тела – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.
Потенциальными называются силы , работа которых зависит только от начального и конечного положения движущейся материальной точки или тела и не зависит от формы траектории.
При замкнутой траектории работа потенциальной силы всегда равна нулю. К потенциальным силам относятся силы тяготения, силы упругости, электростатические силы и некоторые другие.
Силы , работа которых зависит от формы траектории, называются непотенциальными . При перемещении материальной точки или тела по замкнутой траектории работа непотенциальной силы не равна нулю.
Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей.
Найдем работу, совершаемую силой тяжести F т при перемещении тела массой т вертикально вниз с высоты h 1 над поверхностью Земли до высоты h 2 (рис. 1).
Если разность h 1 – h 2 пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу тяжести F т во время движения тела можно считать постоянной и равной mg.
Так как перемещение совпадает по направлению с вектором силы тяжести, работа силы тяжести равна
A = F∙s = m∙g∙ (h l – h 2). (5)
Рассмотрим теперь движение тела по наклонной плоскости. При перемещении тела вниз по наклонной плоскости (рис. 2) сила тяжести F т = m∙g совершает работу
A = m∙g∙s∙cos a = m∙g∙h , (6)
где h – высота наклонной плоскости, s – модуль перемещения, равный длине наклонной плоскости.
Движение тела из точки В в точку С по любой траектории (рис. 3) можно мысленно представить состоящим из перемещений по участкам наклонных плоскостей с различными высотами h" , h" и т. д. Работа А силы тяжести на всем пути из В в С равна сумме работ на отдельных участках пути:
(7)
где h 1 и h 2 – высоты от поверхности Земли, на которых расположены соответственно точки В и С.
Равенство (7) показывает, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях.
При движении вниз работа силы тяжести положительна, при движении вверх – отрицательна. Работа силы тяжести на замкнутой траектории равна нулю.
Равенство (7) можно представить в таком виде:
A = – (m∙g∙h 2 – m∙g∙h l). (8)
Физическую величину, равную произведению массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту, на которую поднято тело над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.
Работа силы тяжести при перемещении тела массой т из точки, расположенной на высоте h 2 , в точку, расположенную на высоте h 1 от поверхности Земли, по любой траектории равна изменению потенциальной энергии взаимодействия тела и Земли, взятому с противоположным знаком.
А = – (Е р 2 – Е р 1). (9)
Потенциальная энергия обозначается буквой Е р .
Значение потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, зависит от выбора нулевого уровня, т. е. высоты, на которой потенциальная энергия принимается равной нулю. Обычно принимают, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю.
При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия Е р тела, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна произведению массы m тела на модуль ускорения свободного падения g и расстояние h его от поверхности Земли:
E p = m∙g∙h . (10)
Физический смысл потенциальной энергии взаимодействия тела с Землей:
потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести, равна работе, совершаемой силой тяжести при перемещении тела на нулевой уровень.
В отличие от кинетической энергии поступательного движения, которая может иметь лишь положительные значения, потенциальная энергия тела может быть как положительной, так и отрицательной. Тело массой m , находящееся на высоте h, где h 0 (h 0 – нулевая высота), обладает отрицательной потенциальной энергией:
Е p = –m∙gh
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия системы двух материальных точек с массами т и М , находящихся на расстоянии r одна от другой, равна
(11)
где G – гравитационная постоянная, а нуль отсчета потенциальной энергии (Е p = 0) принят при r = ∞. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела массой т с Землей, где h – высота тела над поверхностью Земли, М 3 – масса Земли, R 3 – радиус Земли, а нуль отсчета потенциальной энергии выбран при h = 0.
При том же условии выбора нуля отсчета потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела массой т с Землей для малых высот h (h « R 3) равна
Е p = m∙g∙h ,
где – модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
Вычислим работу, совершаемую силой упругости при изменении деформации (удлинения) пружины от некоторого начального значения x 1 до конечного значения x 2 (рис. 4, б, в).
Сила упругости изменяется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы силы упругости можно взять среднее значение модуля силы (т. к. сила упругости линейно зависит от x ) и умножить на модуль перемещения:
(13)
где
Отсюда
(14)
Физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называется потенциальной энергией упруго деформированного тела:
Из формул (14) и (15) следует, что работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела, взятому с противоположным знаком:
А = –(Е р 2 – Е р 1). (16)
Если x 2 = 0 и x 1 = х , то, как видно из формул (14) и (15),
Е р = А.
Тогда физический смысл потенциальной энергии деформированного тела
потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформация равна нулю.
С понятием работы тесно связано другое фундаментальное физическое понятие – понятие энергии. Поскольку в механике изучается, во-первых, движение тел, а во-вторых, взаимодействие тел между собой, то принято различать два вида механической энергии: кинетическую энергию , обусловленную движением тела, и потенциальную энергию , обусловленную взаимодействием тела с другими телами.
Кинетической энергией механической системы называют энергию, з ависящую от скоростей движения точек этой системы.
Выражение для кинетической энергии можно найти, определив работу равнодействующей силы, приложенной к материальной точке. На основании (2.24) запишем формулу для элементарной работы равнодействующей силы:
Так
как
,
то
dА
= mυdυ.
(2.25)
Чтобы найти работу равнодействующей силы при изменении скорости тела от υ 1 до υ 2 проинтегрируем выражение (2.29):
(2.26)
Так как работа - мера передачи энергии от одного тела другому, то на
основании
(2.30) запишем, что величина
есть
кинетическая энергия
тела:
откуда
вместо (1.44) получаем
(2.27)
Теорему, выраженную формулой (2.30) принято называть теоремой о кинетической энергии . В соответствии с ней работа сил, действующих на тело (или систему тел), равна изменению кинетической энергии этого тела (или системы тел).
Из теоремы о кинетической энергии следует физический смысл кинетической энергии : кинетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершать в процессе уменьшения своей скорости до нуля. Чем больше «запас» кинетической энергии у тела, тем большую работу оно способно совершить.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит:
(2.28)
Если работа всех сил, действующих на тело, положительна, то кинетическая энергия тела возрастает, если работа отрицательна, то кинетическая энергия убывает.
Очевидно, что элементарная работа равнодействующей всех приложенных к телу сил будет равна элементарному изменению кинетической энергии тела:
dА = dЕ к. (2.29)
В заключение заметим, что кинетическая энергия, как и скорость движения, имеет относительный характер. Например, кинетическая энергия пассажира, сидящего в поезде, будет разной, если рассматривать движение относительно полотна дороги или относительно вагона.
§2.7 Потенциальная энергия
Вторым видом механической энергии является потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием тел.
Потенциальная энергия характеризует не любое взаимодействие тел, а лишь такое, которое описывается силами, не зависящими от скорости. Большинство сил (сила тяжести, сила упругости, гравитационные силы и т.д.) именно таковы; исключением являются лишь силы трения. Работа рассматриваемых сил не зависит от формы траектории, а определяется лишь её начальным и конечным положением. Работа таких сил на замкнутой траектории равна нулю.
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а зависит лишь от начального и конечного положения материальной точки (тела) называют потенциальными или консервативными силами .
Если тело взаимодействует со своим окружением посредством потенциальных сил, то для характеристики этого взаимодействия можно ввести понятие потенциальной энергии.
Потенциальной называют энергию, обусловленную взаимодействием тел и зависящую от их взаимного расположения.
Найдем потенциальную энергию тела, поднятого над землей. Пусть тело массой m равномерно перемещается в гравитационном поле из положения 1 в положение 2 по поверхности, сечение которой плоскостью чертежа показано на рис. 2.8. Это сечение является траекторией материальной точки (тела). Если трение отсутствует, то на точку действуют три силы:
1) сила N со стороны поверхности нормально поверхности, работа этой силы равна нулю;
2) сила тяжести mg, работа этой силы А 12 ;
3) сила тяги F со стороны некоторого движущего тела (двигатель внутреннего сгорания, электродвигатель, человек и т. п.); работу этой силы обозначим А T .
Рассмотрим работу силы тяжести при перемещении тела вдоль наклонной плоскости длиной ℓ (рис. 2.9). Как видно из этого рисунка, работа равна
А" = mgℓ соsα = mgℓ соs(90° + α) = - mgℓ sinα
Из треугольника ВСD имеем ℓ sinα = h, поэтому из последней формулы следует:
Траекторию движения тела (см. рис. 2.8) можно схематично представить небольшими участками наклонной плоскости, поэтому для, работы силы тяжести на всей траектории 1 -2 справедливо выражение
A 12 =mg (h 1 -h 2) =-(mg h 2 - mg h 1) (2.30)
Итак, работа силы тяжести не зависит от траектории тела, а зависит от различия в высотах расположения начальной и конечной точек траектории.
Величину
е п = mg h (2.31)
называют потенциальной энергией материальной точки (тела) массой m поднятой над землей на высоту h. Следовательно, формулу (2.30) можно переписать так:
A 12 = =-(En 2 - En 1) или A 12 = =-ΔEn (2.32)
Работа силы тяжести равна взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии тел, т. е. разности ее конечного и начального значений (теорема о потенциальной энергии ).
Подобные рассуждения можно привести и для упруго деформированного тела.
(2.33)
Отметим, что физический смысл имеет разность потенциальных энергий как величина, определяющая работу консервативных сил. В связи с этим безразлично, какому положению, конфигурации, следует приписать нулевую потенциальную энергию.
Из теоремы о потенциальной энергии можно получить одно очень важное следствие: консервативные силы всегда направлены в сторону уменьшения потенциальной энергии. Установленная закономерность проявляется в том, что любая система, предоставленная самой себе, всегда стремится перейти в такое состояние, в котором её потенциальная энергия имеет наименьшее значение. В этом заключается принцип минимума потенциальной энергии .
Если система в данном состоянии не обладает минимальной потенциальной энергией, то это состояние называют энергетически невыгодным .
Если шарик находится на дне вогнутой чаши (рис.2.10,а), где его потенциальная энергия минимальна (по сравнению с ее значениями в соседних положениях), то его состояние более выгодно. Равновесие шарика в этом случае является устойчивым : если сместить шарик в сторону и отпустить, то он снова возвратится в своё первоначальное положение.
Энергетически невыгодным, например, является положение шарика на вершине выпуклой поверхности (рис.2.10, б). Сумма сил, действующих при этом на шарик, равна нулю, и потому, этот шарик будет находится в равновесии. Однако равновесие это является неустойчивым : достаточно малейшего воздействия, чтобы он скатился вниз и тем самым перешёл в состояние энергетически более выгодное, т.е. обладающее меньшей
п
отенциальной
энергией.
При безразличном равновесии (рис. 2.10, в) потенциальная энергия тела равна потенциальной энергии всех его возможных ближайших состояний.
На рисунке 2.11 можно указать некоторую ограниченную область пространства (например cd), в которой потенциальная энергия меньше, чем вне её. Эта область получила название потенциальной ямы .
